Wirkung

Eine physikalische Größe der Dimension Energie mal Zeit nennt man Wirkung. Die hier definierte Wirkung hat nichts mit der Wirkung in Ursache und Wirkung zu tun!

Wo tritt die Wirkung auf?

Hamiltonsches Prinzip

Physikalische Theorien lassen sich oft aus Extremalprinzipien ableiten. Ein einfaches Beispiel dafür ist das Hamiltonsche Prinzip der klassischen Mechanik. Gegeben sei ein mechanisches System, das sich zur Anfangszeit $t_{\rm A}$ am Ort $x_{\rm A}$ und zur Zeit $t_{\rm E}$ am Ort $x_{\rm E}$ befindet. Die Frage ist nun, welche Bahn $x(t)$ es in der Zwischenzeit durchläuft. In der klassischen Mechanik ordnet man einem System eine Lagrangefunktion $\mathcal{L}(x,\dot x,t)$ zu. Mit Hilfe dieser Funktion läßt sich einem beliebigen Weg $q(t)$ (mit $q(t_{\rm A})=x_{\rm A}$, $q(t_{\rm B})=x_{\rm B}$) eine Wirkung $S$ durch das Wirkungsfunktional

$$S=S[q]=\int_{t_{\rm A}}^{t_{\rm B}} \mathcal{L}(x,\dot x,t) \,dt$$

zuordnen.

Das Hamiltonsche Prinzip besagt nun, daß für den vom System durchlaufenen Weg (die Bahn) die Wirkung extremal wird (das Wirkungsfunktional $S[q]$ wird für die Bahn entweder Minimal oder Maximal).

Das Hamiltonsche Prinzip charakterisiert also die Bahn eines Systems als den Weg, der das Wirkungsfunktional extremal macht.

Bohr-Sommerfeldsche Quantisierungsregel

Noch bevor die Quantenmechanik entstand, haben Bohr und Sommerfeld die Spektren einfacher Atome durch das Bohrsche Atommodell erklärt (``ältere Quantenmechanik''). Spektrallinien treten dort als Energiedifferenzen zweier ``diskreter'' Elektronenbahnen auf. Welche Elektronenbahnen sind zugelassen? Die Bohr-Sommerfeldsche Quantisierungsregel beantwortet diese Frage: Für die Bahn eines Elektrons muß

$$\oint p\,dx = nh \qquad (n=1,2,...)$$

gelten. Dabei ist der Term links eine Wirkung und $h$ das Planksche Wirkungsquantum. Die Wirkung einer Elektronenbahn im Atom ist also gequantelt, sie tritt nur als Vielfache des Plankschen Wirkungsquantums auf.

Sonstiges

• Das Produkt von Größen, die nicht gleichzeitig beliebig genau messbar sind (Quantenmechanik!), hat die Dimension einer Wirkung (Unschärferelation).